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Asymptotic Notation and Analysis 渐近记号与渐进分析

核心结论

渐进分析（asymptotic analysis）研究当输入规模 $n\to\infty$ 时，算法运行时间或空间使用量的增长趋势。 它忽略机器相关常数、低阶项和实现细节，关注增长阶。 渐近记号（asymptotic notation）是表达增长阶的数学语言：$O$ 表示上界，$\Omega$ 表示下界，$\Theta$ 表示紧确界，$o$ 和 $\omega$ 表示严格上界/严格下界。

1. 渐进分析是什么

算法分析研究计算程序的性能和资源使用，常见资源包括：

• 时间复杂度：算法执行需要多少基本操作。
• 空间复杂度：算法额外使用多少存储空间。

渐进分析的基本思想：

$$\text{不比较具体秒数，而比较 } T(n) \text{ 随 } n \to \infty \text{ 的增长速度。}$$

因此，在复杂度分析中通常：

1. 用输入规模 $n$ 参数化运行时间 $T(n)$；
2. 忽略机器速度、编程语言、编译器等常数因素；
3. 忽略低阶项和常数系数；
4. 优先给出最坏情况上界，因为它提供性能保证。

为什么忽略常数和低阶项

当 $n$ 足够大时，最高阶项主导函数增长。 例如：

$$3n^3+90n^2-5n+6046 = \Theta(n^3)$$

低阶项 $90n^2,-5n,6046$ 不改变整体增长阶。

2. 算法分析的基本对象

设算法在输入规模为 $n$ 的输入上运行时间为 $T(n)$。

2.1 输入规模

输入规模 $n$ 的定义依问题而定：

问题	常见输入规模
排序	元素个数 $n$
图算法	顶点数 $\vert V \vert$ 和边数 $\vert E \vert$
字符串算法	字符串长度 $n$
矩阵算法	矩阵维度 $n$ 或 $m\times n$
数值算法	输入数值的位数，而不一定是数值大小本身

常见错误

不要把输入值本身直接当作输入规模。 例如判断一个整数 $N$ 是否为素数时，输入规模通常是二进制表示长度 $n=\lfloor \log_2 N\rfloor+1$，不是 $N$ 本身。

2.2 三类运行时间分析

分析类型	定义	使用频率	说明
最坏情况（worst-case）	$T(n)$ 是所有规模为 $n$ 的输入中最大运行时间	最常用	给出保证
平均情况（average-case）	对所有规模为 $n$ 的输入按某个概率分布求期望	有时使用	必须说明输入分布
最好情况（best-case）	所有规模为 $n$ 的输入中最小运行时间	较少用于评价算法	容易误导

形式化地，若 $I_n$ 表示规模为 $n$ 的所有输入集合，$t(x)$ 表示输入 $x$ 上的运行时间，则：

$$T_{\text{worst}}(n)=\max_{x\in I_n} t(x)$$

如果给定输入分布 $P(x)$，则平均情况为：

$$T_{\text{avg}}(n)=\sum_{x\in I_n}P(x)t(x)$$

3. 渐近记号总览

设 $f(n),g(n)$ 是非负函数，通常表示运行时间或空间使用量。

记号	读法	含义	类比
$f(n)=O(g(n))$	big-O	$f$ 至多按 $g$ 的速度增长	$\le$
$f(n)=\Omega(g(n))$	big-Omega	$f$ 至少按 $g$ 的速度增长	$\ge$
$f(n)=\Theta(g(n))$	big-Theta	$f$ 与 $g$ 同阶增长	$=$
$f(n)=o(g(n))$	little-o	$f$ 严格慢于 $g$	$<$
$f(n)=\omega(g(n))$	little-omega	$f$ 严格快于 $g$	$>$

推荐表述

严格来说，$O(g(n))$ 是一个函数集合。 因此 $f(n)=O(g(n))$ 是一种约定俗成的写法，更精确地说应写作：

$$f(n)\in O(g(n))$$

这种“等号”不是对称等号。

4. $O$ 记号：渐近上界

4.1 定义

$$O(g(n))= \left\{f(n):\exists c>0,\exists n_0>0,\forall n\ge n_0, 0\le f(n)\le c g(n) \right\}$$

若 $f(n)\in O(g(n))$，表示当 $n$ 足够大时，$f(n)$ 被 $g(n)$ 的某个常数倍上界控制。

4.2 例子

证明：

$$2n^2=O(n^3)$$

只需找出常数 $c,n_0$，使得：

$$0\le 2n^2\le c n^3$$

取 $c=1,n_0=2$，则当 $n\ge 2$ 时：

$$2n^2\le n^3$$

所以：

$$2n^2=O(n^3)$$

警告

$O$ 只是上界，不一定紧 $2n^2=O(n^3)$ 是正确的，但不紧。 更强的结论是：

$$2n^2=\Theta(n^2)$$

5. $\Omega$ 记号：渐近下界

5.1 定义

$$\Omega(g(n))= \left\{f(n):\exists c>0,\exists n_0>0,\forall n\ge n_0, 0\le c g(n)\le f(n) \right\}$$

若 $f(n)=\Omega(g(n))$，表示 $f$ 至少增长得像 $g$ 的某个常数倍一样快。

5.2 例子

$$n=\Omega(\lg n)$$

因为对足够大的 $n$，线性函数 $n$ 一定不小于对数函数 $\lg n$ 的某个常数倍。

不要说“至少是

$O(n^2)$” $O$ 是上界记号，不表示“至少”。 “至少”应使用 $\Omega$。

6. $\Theta$ 记号：渐近紧确界

6.1 定义

$$\Theta(g(n))=O(g(n))\cap\Omega(g(n))$$

等价地：

$$\Theta(g(n))= \left\{f(n):\exists c_1,c_2>0,\exists n_0>0, \forall n\ge n_0, 0\le c_1g(n)\le f(n)\le c_2g(n) \right\}$$

6.2 直观理解

若：

$$f(n)=\Theta(g(n))$$

则 $f(n)$ 与 $g(n)$ 只差常数倍，增长阶相同。

6.3 例子

$$\frac{1}{2}n^2-2n=\Theta(n^2)$$

理由：当 $n$ 足够大时，$n^2$ 项主导增长；$-2n$ 是低阶项，不改变增长阶。

7. $o$ 与 $\omega$：严格渐近界

7.1 $o$ 记号

$$o(g(n))= \left\{f(n):\forall c>0,\exists n_0>0,\forall n\ge n_0, 0\le f(n)<cg(n) \right\}$$

$f(n)=o(g(n))$ 表示 $f$ 严格慢于 $g$。

例如：

$$2n^2=o(n^3)$$

因为：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0$$

7.2 $\omega$ 记号

$$\omega(g(n))= \left\{f(n):\forall c>0,\exists n_0>0,\forall n\ge n_0, 0\le cg(n)<f(n) \right\}$$

$f(n)=\omega(g(n))$ 表示 $f$ 严格快于 $g$。

例如：

$$n=\omega(\lg n)$$

因为：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\lg n}=\infty$$

8. 用极限快速判断增长关系

对于正函数 $f(n),g(n)$，若极限存在：

$$L=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}$$

则有：

极限结果	结论
$L=0$	$f(n)=o(g(n))$，因此 $f(n)=O(g(n))$
$0<L<\infty$	$f(n)=\Theta(g(n))$
$L=\infty$	$f(n)=\omega(g(n))$，因此 $f(n)=\Omega(g(n))$
$L$ 不存在	不能直接判断，需要回到定义或用其他方法

例：比较

$n\log n$ 和 $n^2$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n\log n}{n^2} =\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}=0$$

因此：

$$n\log n=o(n^2)$$

9. 常见增长阶层级

从慢到快，常见增长阶一般为：

$$1 \prec \log n \prec \sqrt n \prec n \prec n\log n \prec n^2 \prec n^3 \prec 2^n \prec n!$$

graph LR
    A[1] --> B[log n]
    B --> C[sqrt n]
    C --> D[n]
    D --> E[n log n]
    E --> F[n^2]
    F --> G[n^3]
    G --> H[2^n]
    H --> I[n!]

常用事实：

$$\log_a n=\Theta(\log_b n)\quad (a,b>1)$$

所以算法分析中通常不关心对数底数。MIT/CLRS 常用 $\lg n$ 表示 $\log_2 n$。

10. 渐进分析的一般步骤

分析算法时按这个流程写

1. 明确输入规模 $n$。
2. 明确分析对象：时间复杂度还是空间复杂度。
3. 选择基本操作，例如比较、赋值、数组访问、堆操作等。
4. 判断分析类型：最坏情况、平均情况、期望情况或最好情况。
5. 写出操作次数、求和式或递归式。
6. 化简到主导项。
7. 用 $O,\Omega,\Theta$ 给出结论。
8. 若声称 $\Theta$，应同时有上界和下界依据。

11. 典型例子

11.1 插入排序 Insertion Sort

最坏情况：输入逆序。

第 $j$ 轮最多需要移动 $j-1$ 个元素，因此：

$$T(n)=\sum_{j=2}^{n}\Theta(j)=\Theta(n^2)$$

平均情况：若假设所有排列等可能，每轮平均移动约 $j/2$ 个元素：

$$T(n)=\sum_{j=2}^{n}\Theta(j/2)=\Theta(n^2)$$

最好情况：输入已经有序。

$$T(n)=\Theta(n)$$

评价排序算法时不要只看最好情况

插入排序最好情况是线性时间，但最坏情况和平均情况都是二次时间。 因此它适合小规模或几乎有序的数据，不适合作为大规模通用排序的最优选择。

11.2 归并排序 Merge Sort

归并排序将数组分成两个子数组，递归排序，然后线性时间合并。

递归式：

$$T(n)=2T(n/2)+\Theta(n)$$

由递归树或主方法可得：

$$T(n)=\Theta(n\lg n)$$

11.3 二分查找 Binary Search

二分查找每次只递归进入一个规模减半的子问题，额外工作为常数。

递归式：

$$T(n)=T(n/2)+\Theta(1)$$

因此：

$$T(n)=\Theta(\lg n)$$

12. 递归式与渐进分析

分治算法常产生递归式。

12.1 递归式模板

若一个规模为 $n$ 的问题被分成 $a$ 个规模为 $n/b$ 的子问题，划分与合并代价为 $f(n)$，则：

$$T(n)=aT(n/b)+f(n)$$

其中：

• $a$：子问题个数；
• $n/b$：每个子问题规模；
• $f(n)$：递归之外的工作量。

12.2 常用求解方法

方法	核心思想	适用场景
代入法（substitution method）	先猜答案，再用归纳法验证	通用，但需要经验
递归树（recursion tree）	分层计算每层代价，再求和	帮助猜测复杂度
主方法（master method）	对 $T(n)=aT(n/b)+f(n)$ 直接套用分类	标准分治递归式

12.3 主方法简表

设：

$$T(n)=aT(n/b)+f(n),\quad a\ge 1,b>1$$

比较 $f(n)$ 与：

$$n^{\log_b a}$$

情况	条件	结论
Case 1	$f(n)=O(n^{\log_b a-\varepsilon})$	$T(n)=\Theta(n^{\log_b a})$
Case 2	$f(n)=\Theta(n^{\log_b a}\lg^k n)$	$T(n)=\Theta(n^{\log_b a}\lg^{k+1}n)$
Case 3	$f(n)=\Omega(n^{\log_b a+\varepsilon})$ 且满足正则条件	$T(n)=\Theta(f(n))$

归并排序

$$T(n)=2T(n/2)+\Theta(n)$$

这里 $a=2,b=2$，所以：

$$n^{\log_b a}=n^{\log_2 2}=n$$

又因为 $f(n)=\Theta(n)$，属于 Case 2 中 $k=0$ 的情况：

$$T(n)=\Theta(n\lg n)$$

13. 常见误区

误区 1：把

$O$ 当成精确复杂度 说“算法是 $O(n^2)$”只说明它有一个二次上界，不说明它一定需要二次时间。 更准确的表述是：

• “最坏时间复杂度为 $O(n^2)$”；
• 若能证明上下界一致，则写“最坏时间复杂度为 $\Theta(n^2)$”。

误区 2：忽略分析条件

平均情况必须说明输入分布；随机算法的期望时间必须说明随机源和期望对象。

误区 3：把实现时间等同于渐进复杂度

渐进复杂度比较的是大规模趋势。 在小规模输入上，$\Theta(n^2)$ 算法可能因常数小而快于 $\Theta(n\log n)$ 算法。

误区 4：声称

$\Theta$ 但只证明 $O$ $\Theta(g(n))$ 需要同时证明：

$$f(n)=O(g(n))$$

和：

$$f(n)=\Omega(g(n))$$

14. 快速判定模板

14.1 多项式函数

若：

$$f(n)=a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_0,\quad a_k>0$$

则：

$$f(n)=\Theta(n^k)$$

14.2 对数与多项式

对任意常数 $a>0,b>0$：

$$(\log n)^a=o(n^b)$$

即任意正幂多项式都渐进快于任意固定次幂对数。

14.3 多项式与指数

对任意常数 $a>0,b>1$：

$$n^a=o(b^n)$$

即指数函数渐进快于任意固定次多项式。

14.4 指数与阶乘

$$2^n=o(n!)$$

阶乘函数增长快于固定底数指数函数。

15. 一句话复习

总结

渐进分析回答的问题不是“程序跑了多少秒”，而是“当输入规模变大时，资源消耗按什么量级增长”。 $O$ 给保证上界，$\Omega$ 给下界，$\Theta$ 给紧确阶；做算法分析时，先写出 $T(n)$，再用这些记号表达主导增长阶。

参考来源

• Cormen, Leiserson, Rivest, Stein. Introduction to Algorithms, 3rd ed. Chapter 2.2, Chapter 3.
• MIT 6.046J / 18.401J, Lecture 1: Analysis of Algorithms.
• MIT 6.046J / 18.401J, Lecture 2: Asymptotic Notation and Recurrences.
• kepano/obsidian-skills: obsidian-markdown

相关笔记

• Introduction to Algorithms 算法导论
• Insertion Sort 插入排序
• Merge Sort 归并排序
• Divide & Conquer 分治
• Recurrences 递归式
• Master Theorem 主定理