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核心任务:

Top-K问题: 在一个数组中找第k小/大的元素

隶属于任务: Order Statistic 顺序统计量

参考方法:

Quick Select 快速选择

算法实现:

step1: 分组, 5个元素一组

step2: 找每组的中位数(给每组的5个数排序)

step3: 找中位数中的中位数pivot

step4: 按pivot分区,确定pivot的rank(每次至少减少30%数据)

step5: 递归查找

if i == k:
	return pivot
elif i < k:
	go to [ 小于 pivot ]
elif i > k:
	go to [ 大于 pivot ]

时间复杂度

$T(n)=T(n/5)+T(7n/10)+O(n)$ $1/5+7/10=9/10<1$ $T(n)=O(n)$ 判断依据: Trick for Analyzing Recursive Time Complexity

算法优劣

优:

解决了Quick Select在极端情况下的高时间复杂度问题, 且在任何情况下都是线性时间.

劣:

时间复杂度低, 但是常数大, 在大部分情况下效率不如Quick Select

拓展

为什么3个一组不行?

$T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+O(n)=O(nlog⁡n)$

为什么7个一组不行?

$T(n)=T(n/7)+T(5n/7)+O(n)=O(n)$ $1/7+5/7=6/7<9/10$ 虽然时间复杂度更低, 但是常数大, 效率不如5个一组.

为什么4个一组不行?

因为没有唯一中位数，分析不自然，不是标准方案.