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Quick Sort 快速排序

核心结论

快速排序是一种基于分治法的比较排序算法。它先通过 PARTITION 将数组围绕一个枢轴（pivot）原地划分，再递归排序左右两部分。

• 平均与随机化期望时间：$\Theta(n\log n)$
• 最坏时间：$\Theta(n^2)$
• 原地分区的数组辅助空间：$\Theta(1)$
• 递归栈：期望 $\Theta(\log n)$，最坏 $\Theta(n)$
• 标准实现通常不稳定

1. 问题定义

给定一个包含 $n$ 个可比较元素的数组：

$$A[0\dots n-1]$$

快速排序要将其重排为：

$$A[0] \le A[1] \le \cdots \le A[n-1]$$

排序只改变元素的位置，不改变元素集合。

2. 基本思想

快速排序使用“分治”策略：

1. Divide（划分）：选择一个枢轴 $x$，重新排列当前子数组，使枢轴左侧元素不大于它，右侧元素大于它。
2. Conquer（解决）：递归排序枢轴左侧和右侧两个子数组。
3. Combine（合并）：不需要额外合并；左右子数组有序后，整个子数组自然有序。

graph TD
    A[待排序子数组 A low...high] --> B[选择 pivot]
    B --> C[PARTITION 原地划分]
    C --> D[左侧元素小于等于 pivot]
    C --> E[pivot 到达最终位置 q]
    C --> F[右侧元素大于 pivot]
    D --> G[递归排序 low...q-1]
    F --> H[递归排序 q+1...high]
    G --> I[当前子数组有序]
    H --> I

快速排序的关键

快速排序真正的核心不是递归，而是能够在线性时间内完成的 PARTITION。一次分区结束后，枢轴已经位于其最终排序位置，后续不再移动。

3. 具体过程

本文采用 Lomuto partition scheme，并统一使用 0-based 下标。

设当前需要排序的闭区间为：

$$A[low\dots high]$$

选择末尾元素作为枢轴：

$$pivot=A[high]$$

维护变量 $i$，使 $A[low\dots i]$ 始终是不大于枢轴的元素区域。

3.1 分区过程

初始化：

$$i=low-1$$

依次扫描：

$$j=low,low+1,\dots,high-1$$

• 若 $A[j]\le pivot$：令 $i\leftarrow i+1$，交换 $A[i]$ 和 $A[j]$。
• 若 $A[j]>pivot$：不交换，继续扫描。
• 扫描结束后，交换 $A[i+1]$ 和 $A[high]$，将枢轴放到最终位置。

最终返回：

$$q=i+1$$

此时满足：

$$\begin{aligned} A[low\dots q-1] &\le A[q],\\ A[q+1\dots high] &> A[q]. \end{aligned}$$

3.2 递归过程

得到枢轴位置 $q$ 后，只需递归处理：

$$A[low\dots q-1]$$

和：

$$A[q+1\dots high]$$

当子数组长度不超过 $1$，即 $low\ge high$ 时，递归结束。

4. 分区循环不变式

在每次处理 $A[j]$ 之前，数组满足以下不变式：

区域	内容
$A[low\dots i]$	所有元素均满足 $A[k]\le pivot$
$A[i+1\dots j-1]$	所有元素均满足 $A[k]>pivot$
$A[j\dots high-1]$	尚未检查
$A[high]$	枢轴 $pivot$

4.1 初始化

开始时 $i=low-1$、$j=low$，前两个区域均为空，因此不变式成立。

4.2 保持

• 若 $A[j]\le pivot$，将它交换到“小于等于区”的末尾。
• 若 $A[j]>pivot$，它自然进入“大于区”。

因此每轮结束后不变式仍成立。

4.3 终止

循环终止时，所有非枢轴元素都已分类。将 $pivot$ 与 $A[i+1]$ 交换后，枢轴位于位置 $q=i+1$，且左右区域满足分区条件。

分区正确性

PARTITION 返回的位置 $q$ 是枢轴在最终有序数组中的正确位置，但左右区域内部此时不一定有序。

5. 伪代码

5.1 Lomuto 分区

PARTITION(A, low, high)
    pivot <- A[high]
    i <- low - 1

    for j <- low to high - 1
        if A[j] <= pivot
            i <- i + 1
            exchange A[i] <-> A[j]

    exchange A[i + 1] <-> A[high]
    return i + 1

5.2 快速排序

QUICK-SORT(A, low, high)
    if low < high
        q <- PARTITION(A, low, high)
        QUICK-SORT(A, low, q - 1)
        QUICK-SORT(A, q + 1, high)

初始调用：

QUICK-SORT(A, 0, length(A) - 1)

5.3 随机化快速排序

固定选择首元素或末元素作为枢轴时，有序输入可能持续产生极不平衡的划分。随机化版本在当前子数组中随机选择枢轴，再执行普通分区。

RANDOMIZED-PARTITION(A, low, high)
    r <- RANDOM(low, high)
    exchange A[r] <-> A[high]
    return PARTITION(A, low, high)

RANDOMIZED-QUICK-SORT(A, low, high)
    if low < high
        q <- RANDOMIZED-PARTITION(A, low, high)
        RANDOMIZED-QUICK-SORT(A, low, q - 1)
        RANDOMIZED-QUICK-SORT(A, q + 1, high)

随机化的作用

随机化不会消除 $\Theta(n^2)$ 的理论最坏情况，但使运行时间不再系统性依赖原始输入顺序。对任意固定输入，随机化快速排序的期望运行时间为 $\Theta(n\log n)$。

6. 正确性

6.1 归纳命题

对任意闭区间 $A[low\dots high]$，调用 QUICK-SORT(A, low, high) 后，该区间按非递减顺序排列。

6.2 基础情况

当 $low\ge high$ 时，子数组长度为 $0$ 或 $1$，天然有序。

6.3 归纳步骤

假设所有长度小于 $n$ 的子数组均能被正确排序。对长度为 $n$ 的子数组：

1. PARTITION 将枢轴放到最终位置 $q$。
2. 左子数组 $A[low\dots q-1]$ 的元素均不大于 $A[q]$。
3. 右子数组 $A[q+1\dots high]$ 的元素均大于 $A[q]$。
4. 两个子数组长度都小于 $n$，根据归纳假设，递归调用可分别将它们排序。

因此：

$$A[low\dots q-1]\le A[q]<A[q+1\dots high]$$

整个区间有序。

7. 时间复杂度

设当前子数组长度为 $n$。一次 PARTITION 需要扫描 $n-1$ 个非枢轴元素，因此：

$$P(n)=\Theta(n)$$

若一次分区产生长度分别为 $k$ 和 $n-k-1$ 的两个子数组，则递归式为：

$$T(n)=T(k)+T(n-k-1)+\Theta(n)$$

7.1 最好情况

每次枢轴都接近中位数，划分基本均衡：

$$T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+\Theta(n)$$

根据主定理：

$$T(n)=\Theta(n\log n)$$

7.2 平均情况与随机化期望情况

虽然单次划分不一定对半，但只要划分在整体上不过度失衡，递归树高度为 $\Theta(\log n)$，每层分区工作的总和为 $\Theta(n)$：

$$\mathbb{E}[T(n)]=\Theta(n\log n)$$

对于元素互异的随机化快速排序，更精确地，比较次数的期望为：

$$\mathbb{E}[C_n] =2(n+1)H_n-4n =2n\ln n+O(n)$$

其中 $H_n$ 是第 $n$ 个调和数。

7.3 最坏情况

若每次枢轴都是当前子数组的最小值或最大值，则划分为 $0$ 和 $n-1$：

$$T(n)=T(n-1)+\Theta(n)$$

展开得：

$$T(n)=\Theta(n+(n-1)+\cdots+1)=\Theta(n^2)$$

典型触发条件：

• 输入已经有序或逆序；
• 始终固定选择首元素或末元素为枢轴；
• 大量重复元素与不合适的二路分区组合使用。

7.4 汇总

情况	划分特征	时间复杂度
最好情况	每次近似均分	$\Theta(n\log n)$
平均情况	整体划分较均衡	$\Theta(n\log n)$
随机化期望	枢轴均匀随机选择	$\Theta(n\log n)$
最坏情况	每次产生 $0:(n-1)$ 划分	$\Theta(n^2)$

8. 空间复杂度

8.1 分区辅助空间

Lomuto 分区仅使用常数个变量：

$$\Theta(1)$$

因此快速排序通常被称为原地排序（in-place sorting）。

8.2 递归栈空间

真正的额外空间取决于递归深度：

情况	递归深度	栈空间
最好情况	$\Theta(\log n)$	$\Theta(\log n)$
随机化期望	$\Theta(\log n)$	$\Theta(\log n)$
最坏情况	$\Theta(n)$	$\Theta(n)$

“原地”不等于总空间恒为

$O(1)$ 原地通常指元素划分不需要与输入同规模的辅助数组。递归实现仍需计算调用栈空间，因此标准快速排序的总辅助空间不能一概写成 $O(1)$。

8.3 栈空间优化

每次只递归处理较短的一侧，再用循环处理较长的一侧，可以把最坏递归栈深度限制为：

$$O(\log n)$$

QUICK-SORT-BOUNDED-STACK(A, low, high)
    while low < high
        q <- PARTITION(A, low, high)

        if q - low < high - q
            QUICK-SORT-BOUNDED-STACK(A, low, q - 1)
            low <- q + 1
        else
            QUICK-SORT-BOUNDED-STACK(A, q + 1, high)
            high <- q - 1

9. 问题需要具有的性质

快速排序适用于满足以下条件的问题。

9.1 元素具有可比较关系

必须能通过比较器判断两个元素的相对次序。通常要求比较关系形成全序或至少全预序，例如满足：

• 自反性；
• 传递性；
• 任意两个元素可比较；
• 比较结果在算法执行期间保持一致。

9.2 可围绕枢轴进行划分

元素必须能够根据与枢轴的比较结果，被划分到“不大于枢轴”和“大于枢轴”的区域。

9.3 子问题相互独立

分区后，左、右子数组占据互不重叠的区间，可以独立递归排序。

9.4 合并操作必须简单

左右子数组排序完成后，不需要像归并排序那样再执行线性合并；枢轴的最终位置保证三部分可以直接连接。

9.5 原地实现需要可修改且可随机访问的序列

原地快速排序需要频繁交换元素，因此数组或动态数组最合适。链表虽可实现类似思想，但难以发挥快速排序的原地交换和缓存局部性优势。

9.6 不要求稳定性

标准快速排序会交换远距离元素，因此通常不稳定。若任务要求保持相等键元素的原始相对顺序，应优先考虑稳定排序，或额外记录原始下标作为次关键字。

10. 典型例子

对数组进行升序排序：

$$A=[9,4,8,3,1,2,5]$$

选择末尾元素 $5$ 为枢轴。

10.1 第一次分区

扫描元素	操作后的数组	$i$
初始	[9, 4, 8, 3, 1, 2, 5]	$-1$
$9>5$	[9, 4, 8, 3, 1, 2, 5]	$-1$
$4\le5$	[4, 9, 8, 3, 1, 2, 5]	$0$
$8>5$	[4, 9, 8, 3, 1, 2, 5]	$0$
$3\le5$	[4, 3, 8, 9, 1, 2, 5]	$1$
$1\le5$	[4, 3, 1, 9, 8, 2, 5]	$2$
$2\le5$	[4, 3, 1, 2, 8, 9, 5]	$3$
放置枢轴	[4, 3, 1, 2, 5, 9, 8]	$q=4$

第一次分区后：

$$[4,3,1,2]\quad 5\quad [9,8]$$

其中 $5$ 已在最终位置。

10.2 递归处理

左侧：

$$[4,3,1,2]\rightarrow[1,2,4,3]\rightarrow[1,2,3,4]$$

右侧：

$$[9,8]\rightarrow[8,9]$$

最终结果：

$$[1,2,3,4,5,8,9]$$

11. Python 实现

11.1 随机化原地快速排序

from __future__ import annotations

import random
from collections.abc import MutableSequence
from typing import TypeVar

T = TypeVar("T")


def partition(a: MutableSequence[T], low: int, high: int) -> int:
    """使用 Lomuto 方法划分 a[low:high + 1]，返回枢轴最终下标。"""
    pivot = a[high]
    i = low - 1

    for j in range(low, high):
        if a[j] <= pivot:
            i += 1
            a[i], a[j] = a[j], a[i]

    pivot_index = i + 1
    a[pivot_index], a[high] = a[high], a[pivot_index]
    return pivot_index


def randomized_partition(
    a: MutableSequence[T],
    low: int,
    high: int,
    rng: random.Random,
) -> int:
    """随机选择枢轴，再调用普通分区。"""
    pivot_index = rng.randint(low, high)
    a[pivot_index], a[high] = a[high], a[pivot_index]
    return partition(a, low, high)


def quick_sort(a: MutableSequence[T], seed: int = 42) -> None:
    """原地随机化快速排序；相同 seed 可复现实验。"""
    rng = random.Random(seed)

    def sort(low: int, high: int) -> None:
        while low < high:
            q = randomized_partition(a, low, high, rng)

            # 递归较短一侧，循环处理较长一侧，限制调用栈深度。
            if q - low < high - q:
                sort(low, q - 1)
                low = q + 1
            else:
                sort(q + 1, high)
                high = q - 1

    sort(0, len(a) - 1)


if __name__ == "__main__":
    data = [9, 4, 8, 3, 1, 2, 5]
    expected = sorted(data)

    quick_sort(data, seed=42)

    assert data == expected
    print(data)

预期输出：

[1, 2, 3, 4, 5, 8, 9]

11.2 验证方法

对随机输入验证结果与 Python 内置排序一致：

import random

rng = random.Random(42)

for n in range(100):
    data = [rng.randint(-20, 20) for _ in range(n)]
    expected = sorted(data)

    quick_sort(data, seed=42)
    assert data == expected

print("all tests passed")

12. 大量重复元素：三路快速排序

当数组包含大量与枢轴相等的元素时，二路分区可能反复处理这些重复值。可使用 3-way partition，一次划分为：

$$A[low\dots lt-1] < pivot$$ $$A[lt\dots gt] = pivot$$ $$A[gt+1\dots high] > pivot$$

随后只递归处理“小于区”和“大于区”。若所有元素都相等，三路快速排序可在线性时间内完成，而普通二路实现可能退化到平方时间。

13. 常见错误

错误 1：递归区间包含枢轴

分区后 $q$ 已经位于最终位置，正确递归区间是 [low, q - 1] 和 [q + 1, high]。若再次包含 $q$，可能导致无限递归。

错误 2：混用闭区间和半开区间

本文伪代码使用闭区间 [low, high]。若 Python 实现改用半开区间 [low, high)，循环边界、枢轴位置和初始调用都必须同步修改。

错误 3：只写数组辅助空间为

$O(1)$ 完整空间分析必须同时给出递归栈：期望 $O(\log n)$，最坏 $O(n)$；采用“递归较短侧”优化后可保证栈空间 $O(\log n)$。

错误 4：把随机化理解为平均输入假设

随机化快速排序不要求输入本身随机。随机性来自算法内部的枢轴选择。

14. 与其他排序算法对比

算法	最好时间	平均时间	最坏时间	额外空间	稳定性
Quick Sort	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(n^2)$	期望 $\Theta(\log n)$ 栈	否
Merge Sort 归并排序	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(n\log n)$	数组实现通常 $\Theta(n)$	是
Heap Sort 堆排序	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(n\log n)$	$\Theta(1)$	否
Insertion Sort 插入排序	$\Theta(n)$	$\Theta(n^2)$	$\Theta(n^2)$	$\Theta(1)$	是

实践建议

• 一般数组排序：使用随机枢轴或高质量枢轴选择策略。
• 小子数组：常切换为插入排序以降低常数开销。
• 重复值很多：使用三路分区。
• 必须保证最坏 $O(n\log n)$：考虑归并排序、堆排序或 introsort。
• 必须稳定：不要直接使用标准原地快速排序。

15. 复习要点

• 能解释快速排序的 Divide、Conquer、Combine。
• 能手算一次 Lomuto 分区过程。
• 能写出 PARTITION 和 QUICK-SORT 的 0-based 伪代码。
• 能用循环不变式证明分区正确。
• 能分别推导最好、期望和最坏时间复杂度。
• 能区分数组辅助空间与递归栈空间。
• 能解释随机化为什么降低输入顺序造成的退化风险。
• 能说明大量重复元素时为何应使用三路分区。

相关笔记

• Merge Sort 归并排序
• Insertion Sort 插入排序
• Heap Sort 堆排序
• Order Statistic 顺序统计量

参考资料

1. Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. Introduction to Algorithms, 3rd ed., Chapter 7: Quicksort. MIT Press, 2009.
2. Demaine, Erik D.; Leiserson, Charles E. “Lecture 4: Quicksort, Randomized Algorithms.” MIT 6.046J, Fall 2005. MIT OpenCourseWare 课程页面.
3. Devadas, Srinivas. “Lecture 6: Randomization: Matrix Multiply, Quicksort.” MIT 6.046J, Spring 2015. PDF.
4. kepano. “Obsidian Flavored Markdown Skill.” obsidian-skills.